Se dice que un sistema de ecuación no lineal es un sistema en el cual una o ambas de las incógnitas es no lineal (su grado es mayor o igual o dos), comúnmente escrito en la forma,
$$\left\{\begin{array}1ax+by=c\\mx^2+ny=d\end{array}\right.~~~~{\rm o}~~~~\left\{\begin{array}1ax+by=c\\mx+ny^2=d\end{array}\right.~~~~{\rm o}~~~~\left\{\begin{array}1ax+by=c\\mx^2+ny^2=d\end{array}\right.$$
Donde el sistema puede tener cualquier otra forma y el mayor grado puede ser distinto a dos.
Al igual que en los sistemas lineales resolver el sistema es determinar los valores de las incógnitas que hacen verdaderas todas las ecuaciones del sistema, llamado conjunto solución.
Método de resolución
Para la resolución analítica de un sistema no lineal, conviene en la mayoría de los casos el uso del método de sustitución. Comience por despejar una de las variables en una de las ecuaciones (preferiblemente si hay alguna que sea lineal) y sustituir su valor en la otra ecuación para luego resolver la ecuación encontrada.
El conjunto solución si existe, está formado por el o los puntos de intersección de las gráficas de las ecuaciones. Si el sistema posee solución, se dice que el sistema es compatible determinado y su representación gráfica es una línea recta que interseca una curva en uno o más puntos, del plano. Si no posee solución se dice que es incompatible y su representación gráfica es una línea recta que no interseca la curva del sistema.
Al igual que en los sistemas lineales para que las soluciones sean infinitas es necesario que las ecuaciones representen la misma curva, o que una recta interseque una curva en infinitos puntos, por tanto, carece de sentido estudiar el caso en que hay infinitas soluciones, y el estudio se centra en aquellos casos en que las soluciones son finitas.
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Resolver el sistema $$\left\{\begin{array}1y^2-12x=0\\8x+6y-24=0\end{array}\right.$$
Solución: Despejando \(x\) en la ecuación lineal,
$$x=\frac{24-6y}{8}$$
sustituyendo en la cuadrática se tiene,
\begin{align}
y^2-12\left(\frac{24-6y}{8}\right)&=0\\
8y^2-12(24-6y)&=0\\
8y^2+72y-288&=0\\
y^2+9y-36&=0\\
\left(y+12\right)\left(y-3\right)&=0~~~~
\mathrm{De~ donde}~~ y_1=-12~~ \mathrm{y}~~ y_2=3&\\
\end{align}
$$\mathrm{Como~} x=\frac{24-6y}{8} \ \mathrm{para} \ y=-12 \ \mathrm{entonces:}$$
$$x=\frac{6\left(-12\right)+24}{8}=12 \Longrightarrow(12,-12)$$
Para \(y=3\) se tiene:
$$ x\frac{24-6\left(3\right)}{8}=\frac{3}{4}\Longrightarrow\left(\frac{3}{4},3\right)$$
Por tanto, los puntos \((12,-12)\) y \((3/4,3)\) son el conjunto solución.
Resolver el sistema $$\left\{\begin{array}1x^2+y^2-5x-4y+4=0\\-4x+3y+4=0\end{array}\right.$$
Solución: despejando \(x\) en la ecuación lineal, $$x=\frac{3y+4}{4}$$
sustituyendo en la cuadrática se tiene:
$$\left(\frac{3y+4}{4}\right)^2-5\left(\frac{3y+4}{4}\right)+y^2-4y+4=0$$
$$\frac{9y^2+24y+16}{16}-\frac{15y+20}{4}+y^2-4y+4=0$$
$$9y^2+24y+16-4(15y+20)+16y^2-64y+64=0$$
$$9y^2+24y+16-60y-80+16y^2-64y+64=0$$
$$25y^2-100y=0 \Longrightarrow \mathrm{factorizando}~~ 25y(y-4)=0$$
Igualando a cero los factores:
$$\left\{\begin{array}125y=0⟺y=0\\y-4=0⟺y=4\end{array}\right.$$
$$\mathrm{Luego \ como} \ x=\frac{3y+4}{4} \ \ \mathrm{para} \ y=0\ \ \ x=\frac{3(0)+4}{4}\ =1$$
$$~~~~\ \mathrm{para} \ y=4\ \ \ \ \ x=\frac{3(4)+4}{4}=4$$
De donde los puntos de intersección (conjunto solución) son los puntos \((1,\ 0)\) y \((4,\ 4).\)
Resolver el sistema $$\left\{\begin{array}1x^2-y^2=-5~~~~~~~~~\boxed{\textcolor{blue}{1}}\\\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=\frac{145}{144}~~~~~~~\boxed{\textcolor{blue}{2}}\end{array}\right.$$
Solución: despejando \(x^2\) en \(\boxed{\textcolor{blue}{1}}\) se tiene \(x^2=y^2-5,\) sustituyendo este valor en \(\boxed{\textcolor{blue}{2}}:\)
\begin{align}
\frac{y^2-5}{9} +\frac{y^2}{16}&=\frac{145}{144}\\
16(y^2-5)+9y^2&=145\\
16y^2-80+9y^2&=145\\
25y^2-225&=0\\
\left(5y-15\right)\left(5y+15\right)&=0\\
\end{align}
$$\left\{\begin{array}1
5y-15=0 \Longrightarrow y_1=-\frac{15}5=-3\\
5y+15=0 \Longrightarrow y_2=\frac{15}5=3
\end{array}\right.$$
Luego como \(x^2=y^2-5\) para ambos valores de \(y\) se tiene \(x_1=-2 ~~~~~~~x_2=2\)
De donde la solución al sistema son los pares,
$$(-2,-3);(-2,3);(2,3);(2,-3)$$
Resolver el sistema
$$\left\{\begin{array}1
a^2-b^2=49\\
\frac{12^2}{b^2}+\frac{4}{a^2}=1
\end{array}\right.$$
Solución:
$$\left\{\begin{array}1
a^2-b^2=49\\
144a^2+4b^2=a^2b^2
\end{array}
\Longrightarrow \left\{\begin{array}1
a^2-b^2=49~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\boxed{\textcolor{#ff0080}{1}}\\
144a^2-a^2b^2+4b^2=0~~~~\boxed{\textcolor{#ff0080}{2}}
\end{array}\right.\right.$$
Despejando \(a^2\) en \(\boxed{\textcolor{#ff0080}{1}}\) y sustituyendo en \(\boxed{\textcolor{#ff0080}{2}}\)
\begin{align}
&144(b^2+49)-(b^2+49)b^2\ +4b^2=0\\
&144b^2+7056-b^4-49b^2+4b^2=0\\
&b^4-99b^2-7056=0\end{align}
$$b^2=\frac{-(-99)\pm\sqrt{{(99)}^2-4(1)(-7056)}}{2(1)}=\frac{99\pm\sqrt{38025}}{2}$$
$$b^2=\frac{99\pm195}{2}\Longrightarrow \left\{\begin{array}1
b^2-147=0 ~~~\boxed{\textcolor{#ff0080}{3}}\\
b^2+48=0~~~\boxed{\textcolor{#ff0080}{4}}
\end{array}\right.$$
Resolviendo la ecuación \(~~\boxed{\textcolor{#ff0080}{3}}~~ b^2-147=0\)
$$(b-\sqrt{147})(b+\sqrt{147})=0 \Longrightarrow \left\{\begin{array}1 b-147=0 ⟺ b=7\sqrt3\\
b+\sqrt{147}=0 ⟺ b=-7\sqrt3
\end{array}\right.$$
Para determinar \(a\) se parte de \(a^2-b^2=49.\)
\begin{align}
&a^2-b^2=49\\
&a^2-{(7\sqrt3)}^2+49=0\\
&a^2-196=0\\
&(a-14)(a+14)=0\\
\end{align}
de donde se obtienen los valores \(a_1=14\) y \(a_2=-14\) y el conjunto solución está formado por los pares, \((14,7\sqrt{3});(14,-7\sqrt{3});(-14,7\sqrt3)(-14,-7\sqrt3)\)
La ecuación \(~~\boxed{\textcolor{#ff0080}{4}}\) no tiene solución en \(\mathbb{R}\).
Resolver el sistema
$$\left\{\begin{array}{l}
x^2+y^2=50\\
2x+y=10\end{array}\right.$$
Solución: despejando ye en la ecuación lineal \(y=10-2x\), sustituyendo este valor en la ecuación cuadrática.
\begin{align}
&x^2+\left(10-2x\right)^2=50\\
&x^2+{(10)}^2-2(10)2x+{(2x)}^2=50\\
&x^2+100-40x+4x^2=50\\
&5x^2-40x+100-50=0\\
&5x^2-40x+50=0\\
&x^2-8x+10=0\\
&x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ \ \ \ {\rm para} \ a=1\ \ b=-8\ \ c=10\\
&x=\frac{-(-8)\pm\sqrt{{(-8)}^2-4(1)(10)}}{2(1)}\\
&x=\frac{8\pm\sqrt{64-40}}{2}\ =\frac{8\pm\sqrt{24}}{2}\\
&x=\frac{8\pm\sqrt{4(6)}}{2}\\
&x=\frac{8\pm\sqrt{4(6)}}{2}=\frac{8\pm\sqrt4\sqrt6}{2}\\
&x=\frac{8\pm2\sqrt6}{2}\\
&x=\frac{8}{2}\pm\frac{2\sqrt6}{2}=4\pm\sqrt6\end{align}
Como \(y=10-2x\) entonces,
Si \(x=4+\sqrt6\) se tiene \(y=10-2(4+\sqrt6)=10-8-2\sqrt6=2-2\sqrt6\)
Si \(x=4-\sqrt6\) se tiene \(y=10-2(4-\sqrt6)=10-8+2\sqrt6=2+2\sqrt6\)
